المرجع الكتاب المدرسي للشعب العلمية (الصفحة 330) والأدبية.
 |
| الرياضيات و أنساقها |
النص: الرياضيات و أنساقها
مرحلة الفهم
لابد من العمل على فهم النص فهما جيدا قبل الشروع في متابعة هذا التحليل.
مرحلة التحليل
طرح المشكلة
يندرج النص الذي بين أيدينا ضمن مجال فلسفة المعرفة، حيث يتناول موضوع نتائج الرياضيات، وهو موضوع حديث الطرح، ظهرت ملامحه مع فلاسفة العصر الحديث، ولكن بعد ظهور الهندسات اللااقليدية اخذ هذا الموضوع بعدا آخر حيث نُظِر لهذه الهندسات كمنافس لهندسة إقليدس التي لاقت قبولا طيلة 23 قرنا و لكن لم يبق الحال كما هو عليه ، من هنا كتب الفيلسوف و الرياضي الفرنسي المعاصر 1898-1975 روبير بلانشي هذا النص مجيبا عن سؤال مفاده:
كيف انفصلت الهندسات المعاصرة عن المكان الواقعي؟ هل تتعدد الحقيقة الرياضية بتعدد أنساقها ؟
محاولة حل المشكلة
موقف صاحب النص:
يرى روبير بلانشي أن أنساق الهندسة المعاصرة تغيرت كثيرا مقارنة بما كان عليه الحال في الهندسة الإقليدية الحسية، حيث اعتمد الفكر الرياضي المعاصر على أنساق افتراضية احتمالية ، وهذا بدوره ما يجعل الحقيقة الرياضية حقيقة نسبية و لا يمكنها أن تكون مطلقة كما في الرياضيات الكلاسيكية الرياضي مؤخرا ما عاد يهتم بصدق أو كذب القضايا التي يعتمدها في براهينه بل أصبح يهتم فقط بمدى الانسجام المنطقي بين المقدمات التي ينطلق منها والنتائج التي يصل إليها بغض النظر عن الواقع. عبر عن هذا في قوله: " تأخذ الحقيقة الرياضية …..التالي".
حجج وبراهين صاحب النص:
يؤكد صاحب النص موقفه من الأنساق الهندسية المعاصرة استنادا إلى حجج عقلية، نابعة من طبيعة البرهنة الرياضية وكيف أن إخفاق البرهنة التحليلية المباشرة وغير المباشرة، كان سببا في ظهور الهندسات اللاإقليدية مع ريمان ولوباتشفسكي في البداية، فالبرهان بالخلف هو الاستدلال الذي يحكم بصحة قضية بعد رفع نقيضها ، فإذا كان المكان إما مسطحا أو لا مسطحا وثبت كذب القضية الثانية تقرر صدق الأولى، لكن إذا كان هذا النوع من البرهان مرفوعا في الحالتين أتسع المجال إلى قضايا برهانية أخرى، وإذا كانت القضية الثانية لا مسطح هي مجرد احتمال ، كانت الأولى أيضا محتملة لذا فالأخذ بقضية جديدة لا يعني التناقض بالضرورة ، لم يقف الأمر عند حد تجاوز مسلمة التوازي فقط لكنه امتد إلى المسلمات الأخرى المعروفة، نتج عن ذلك تغير في طبيعة الحقيقة الرياضية، فبعد أن كانت تجمع بين معيار العقل ومعيار الواقع، ها أصبحت المبادئ والأسس لا تؤخذ لما تتمتع به من صدق، وإنما للدور الذي تقوم به في البرهنة الرياضية، من نتائج هذا المعنى الجديد أن مجموعة النتائج التي تبدو لنا متنافر، تتمتع جميعها بنفس الدرجة من الصدق، لكن بشرط أن نردها إلى أنساقها الخاصة، كل ما في الأمر هو جملة من القضايا التي يضعها العقل، ولا يمكن اعتبار هذه القضايا مشكوك فيها او اعتبارها مؤكدة، لكنها قضية يجب الالتزام طيلة البرهنة الرياضية أو النسق الذي يسعى العقل إلى بنائه، حيث أن تعدد الأنساق الهندسية يفصلها عن الواقع، كما ينزع عنها طابع البداهة أو الوضوح ويربطه بمعيار وحيد هو الانسجام الداخلي بين النتائج والمقدمات ضمن هذه الأنساق أو مايعرف ايضا بعدم التناقض فيما بينها، فما المقدمات إلا افتراضات استعان بها العقل لسلامة برهانه.
نقد و تقييم النص:
وفق صاحب النص إلى حد كبير في الحكم على الحقيقة الرياضية المعاصرة بنسبية النتائج، فقد كانت الهندسة الكلاسيكية حاجزا أمام العقل للخوض في مجالات عديدة منفصلة أو مجردة عن الواقع الحسي، لكون الهندسة الكلاسيكية مرتبطة أشد الارتباط بمسلمة المكان سطح مستوي، ولم يكن ذلك لو أنه تمسك بالواقع كمعيار لهذه الهندسة، وهي الحقيقة التي أكدها العديد من الرياضيين المعاصرين مثل بوليغان الذي يقول " أن في عصرنا هذا أصبحت الرياضيات نسبية و لا مجال للحديث عن مطلقية الرياضيات" ثم يضيف قائلا " إن كثرة الأنظمة في الهندسة لدليل على أن الرياضيات ليس فيها حقائق مطلقة" وعلى العموم فقد أصبح الافتراض حقيقة واقعة في الرياضيات المعاصرة.، لكن النسبية المقصودة في الفكر الرياضي تختلف عنه في غيره من المجالات لتظل الحقيقة الهندسية مطلقة في أنساقها الخاصة.
الرأي الشخصي:
مبادئ الرياضيات لا تزيد عن كونها مجرد موضوعات يضعها الفكر و يسلم بها و على هذا الأساس يكون بإمكان العقل الرياضي تأسيس هندسة أخرى نتصور فيها مكانا خاليا من الأبعاد و نحدف قضية المتوازيات حذفا تاما ، ما يؤكد انقطاع الصلة بالواقع والتأكيد على مدى التوافق والانسجام بين المنطلقات والنتائج.
حل المشكلة
يرى روبير بلانشي أن أنساق الهندسة المعاصرة تغيرت كثيرا مقارنة بما كان عليه الحال في الهندسة الإقليدية الحسية، حيث اعتمد الفكر الرياضي المعاصر على أنساق افتراضية احتمالية ، وهذا بدوره ما يجعل الحقيقة الرياضية حقيقة نسبية و لا يمكنها أن تكون مطلقة كما في الرياضيات الكلاسيكية الرياضي مؤخرا ما عاد يهتم بصدق أو كذب القضايا التي يعتمدها في براهينه بل أصبح يهتم فقط بمدى الانسجام المنطقي بين المقدمات التي ينطلق منها والنتائج التي يصل إليها بغض النظر عن الواقع. عبر عن هذا في قوله: " تأخذ الحقيقة الرياضية …..التالي".
حجج وبراهين صاحب النص:
يؤكد صاحب النص موقفه من الأنساق الهندسية المعاصرة استنادا إلى حجج عقلية، نابعة من طبيعة البرهنة الرياضية وكيف أن إخفاق البرهنة التحليلية المباشرة وغير المباشرة، كان سببا في ظهور الهندسات اللاإقليدية مع ريمان ولوباتشفسكي في البداية، فالبرهان بالخلف هو الاستدلال الذي يحكم بصحة قضية بعد رفع نقيضها ، فإذا كان المكان إما مسطحا أو لا مسطحا وثبت كذب القضية الثانية تقرر صدق الأولى، لكن إذا كان هذا النوع من البرهان مرفوعا في الحالتين أتسع المجال إلى قضايا برهانية أخرى، وإذا كانت القضية الثانية لا مسطح هي مجرد احتمال ، كانت الأولى أيضا محتملة لذا فالأخذ بقضية جديدة لا يعني التناقض بالضرورة ، لم يقف الأمر عند حد تجاوز مسلمة التوازي فقط لكنه امتد إلى المسلمات الأخرى المعروفة، نتج عن ذلك تغير في طبيعة الحقيقة الرياضية، فبعد أن كانت تجمع بين معيار العقل ومعيار الواقع، ها أصبحت المبادئ والأسس لا تؤخذ لما تتمتع به من صدق، وإنما للدور الذي تقوم به في البرهنة الرياضية، من نتائج هذا المعنى الجديد أن مجموعة النتائج التي تبدو لنا متنافر، تتمتع جميعها بنفس الدرجة من الصدق، لكن بشرط أن نردها إلى أنساقها الخاصة، كل ما في الأمر هو جملة من القضايا التي يضعها العقل، ولا يمكن اعتبار هذه القضايا مشكوك فيها او اعتبارها مؤكدة، لكنها قضية يجب الالتزام طيلة البرهنة الرياضية أو النسق الذي يسعى العقل إلى بنائه، حيث أن تعدد الأنساق الهندسية يفصلها عن الواقع، كما ينزع عنها طابع البداهة أو الوضوح ويربطه بمعيار وحيد هو الانسجام الداخلي بين النتائج والمقدمات ضمن هذه الأنساق أو مايعرف ايضا بعدم التناقض فيما بينها، فما المقدمات إلا افتراضات استعان بها العقل لسلامة برهانه.
نقد و تقييم النص:
وفق صاحب النص إلى حد كبير في الحكم على الحقيقة الرياضية المعاصرة بنسبية النتائج، فقد كانت الهندسة الكلاسيكية حاجزا أمام العقل للخوض في مجالات عديدة منفصلة أو مجردة عن الواقع الحسي، لكون الهندسة الكلاسيكية مرتبطة أشد الارتباط بمسلمة المكان سطح مستوي، ولم يكن ذلك لو أنه تمسك بالواقع كمعيار لهذه الهندسة، وهي الحقيقة التي أكدها العديد من الرياضيين المعاصرين مثل بوليغان الذي يقول " أن في عصرنا هذا أصبحت الرياضيات نسبية و لا مجال للحديث عن مطلقية الرياضيات" ثم يضيف قائلا " إن كثرة الأنظمة في الهندسة لدليل على أن الرياضيات ليس فيها حقائق مطلقة" وعلى العموم فقد أصبح الافتراض حقيقة واقعة في الرياضيات المعاصرة.، لكن النسبية المقصودة في الفكر الرياضي تختلف عنه في غيره من المجالات لتظل الحقيقة الهندسية مطلقة في أنساقها الخاصة.
الرأي الشخصي:
مبادئ الرياضيات لا تزيد عن كونها مجرد موضوعات يضعها الفكر و يسلم بها و على هذا الأساس يكون بإمكان العقل الرياضي تأسيس هندسة أخرى نتصور فيها مكانا خاليا من الأبعاد و نحدف قضية المتوازيات حذفا تاما ، ما يؤكد انقطاع الصلة بالواقع والتأكيد على مدى التوافق والانسجام بين المنطلقات والنتائج.
حل المشكلة
رغم أن الحقيقة الرياضية ظلت مطلقة لما يزيد عن 20 قرنا من الزمن، غير أنها أصبحت نسبية وأغرقت في التجريد لدرجة أن أينشتاين أحدثت انقلابا ثوريا في الإنتقال من الإيمان بفكرة الثبات إلى فكرة النسبي حين أكد أن اليقين يزداد كلما ابتعد الفكر الرياضي عن الواقع.