تذهب الكثير من الأطروحات التي تناولت المعرفة عند اليونان إلى الحديث عن جمع كل من أفلاطون Platon (حوالي 427 – 348 ق م) و ارسطو Aristote (حوالي 384 – 322 ق م)، بين التفكير الفلسفي والمنطقي للهندسة في فلسفتهما مما جعلها أكثر خصوبة، لكن لا أحد يستطيع انكار أثر كتاب العناصر (أو الأصول) لمؤلفه اقليدس Euclid (حوالي 300 ق م) في الرياضيين مدة قرون عديدة لما شمله من تجديد كلي للفكر الرياضي بعد ذلك والانتقال به إلى مستوى العلمية. هذا ما أدى بعد ذلك إلى هيمنة الهندسة الاقليدية حتى القرن 18 ميلادية. دون أن ننسى مساهمة العديد من الرياضيين اليونان مثل أرخميدس وفيثاغورس وغيرهما كثير) ليس في مجال الهندسة فقط، بل في شتى فروع الرياضيات الأخرى. فكيف يمكننا الوقوف على حدود الهندسة الاقليدية مقارنة بما جاء بعدها أي الهندسة اللاإقليدية؟ ثم هل هذه الأخيرة تجاوز للأولى أم أمتداد لها.
1- الهندسة الإقليدية
الهندسة التي عرفناها منذ مراحل التعليم المتقدمة (التعليم الابتدائي والمتوسط) هي هندسة أقليدس أو "هندسة السطح المستوي"، تدعى بهذا الإسم " الهندسة الإقليدية" نسبة لعالم الرياضيات الذي عاش في العصر الإغريقي، وكان يعرف حينها بإقليدس (حوالي 330 ق.م).
كتاب إقليدس "العناصر" كان أول تفكير "علمي" بمعنى الكلمة حسبما هو متعارف عليه اليوم حول الهندسة. لكن هذا لا يعني أن أقليدس قد أبدعه من العدم، فالعديد من الاستنتاجات التي توصل إليها إقليدس، صرح بها علماء رياضيات إغريق قبله في وقت سابق، لكن دوره يتمثل في التفكير النسقي الذي عرف به، حيث عمل على بناء أول منظومة استنتاجية شاملة تشمل قضايا متباينة فيما بينها. فقد عرفه عنه أنه كان يعتمد في منهجه الهندسي على إثبات جميع النظريات التي تعرض عليه من خلال عدد محدود من المسلمات والبديهيات.
كما وضع إقليدس عدد كبيرا من التعاريف المتعلقة بالموضوعات الهندسية، ولكن الأمر الطريف هنا أنه لم يضع تعريفاً محدداً
لبعض الأشكال الهندسية الابسط نسبيا، مثل النقطة وغيرها، في الوقت الذي لم يتمكن الرياضيين بعده من تعريف ما لم يعرفه إقليدس).
الهندسة التي عرفناها منذ مراحل التعليم المتقدمة (التعليم الابتدائي والمتوسط) هي هندسة أقليدس أو "هندسة السطح المستوي"، تدعى بهذا الإسم " الهندسة الإقليدية" نسبة لعالم الرياضيات الذي عاش في العصر الإغريقي، وكان يعرف حينها بإقليدس (حوالي 330 ق.م).
كتاب إقليدس "العناصر" كان أول تفكير "علمي" بمعنى الكلمة حسبما هو متعارف عليه اليوم حول الهندسة. لكن هذا لا يعني أن أقليدس قد أبدعه من العدم، فالعديد من الاستنتاجات التي توصل إليها إقليدس، صرح بها علماء رياضيات إغريق قبله في وقت سابق، لكن دوره يتمثل في التفكير النسقي الذي عرف به، حيث عمل على بناء أول منظومة استنتاجية شاملة تشمل قضايا متباينة فيما بينها. فقد عرفه عنه أنه كان يعتمد في منهجه الهندسي على إثبات جميع النظريات التي تعرض عليه من خلال عدد محدود من المسلمات والبديهيات.
كما وضع إقليدس عدد كبيرا من التعاريف المتعلقة بالموضوعات الهندسية، ولكن الأمر الطريف هنا أنه لم يضع تعريفاً محدداً
لبعض الأشكال الهندسية الابسط نسبيا، مثل النقطة وغيرها، في الوقت الذي لم يتمكن الرياضيين بعده من تعريف ما لم يعرفه إقليدس).
مثال توضيحي تقريبي
لتوضيح الفكرة أكثر حول الهندسة الإقليدية، يمكن الاستعانة بفضاء مسطح أو ما يعرف في مجال التقنية باسم (ثنائي البعد). وهنا بإمكاننا من باب توضيح فكرة هذا المفهوم الهندسي الاستعانة بالرسم على ورق الدفتر أو على السبورة أو جدار …... أو أي فضاء (مستوى) مسطح، ولا بد هنا من الإحاطة بالمفاهيم (والتي هي بمثابة مسلمات صرح بها اقليدس في هندسته ) الأساسية أو الفرضيات التي استند عليها في إشتقاق نظريات الهندسة الإقليدية المعروفة وهي كما يلي:
البديهات الخمسة هي: common notions
المسلمات الخمسة هي: Basic postulates
ظلت هذه الهندسة أي " هندسة إقليدس" تمثل أسس علم الهندسة على مدى القرون المنصرمة العديدة والتي تقارب ألفين سنة السنين، كما اعتبرت المسلمة الخامسة " مسلمة التوازي" أعظم ما أنتجه إقليدس، ولكن هل هذه المسلمة صحيحة أم أنها قد تكون مشتقة من المسلمات الأربع السابقة؟
ويعلق جورج سارتون في كتابه "تاريخ العلم" على هذه مسلمة التوازي الإقليدية قائلا: "قد يقول الشخص المتوسط الذكاء أن النظرية ظاهرة ولا تحتاج إلى برهان، ولكن الرياضي الأفضل يدرك فورا الحاجة إلى برهان ويحاول أن يعطيه... ويحتاج الأمر إلى عبقري خارق للعادة، لإيجاد هذا البرهان و لكن هذا الأمر مستحيل....."
بالفعل فقد بذل كبار علماء الرياضيات في الحضارات المنصرمة الشرقية والغربية جهدهم على امتداد العشرين قرن الماضية، من أجل البرهنة على صحة هذه المسلمة لكن كل تلك المحاولات باءت بالفشل.
لكن حين فكر بعض العباقرة مثل " في التخلص من تلك المسلمة، نجحوا في وضع بدائل لها ومن تلك البدائل التي ذهبوا إليها:
هكذا وعلى الرغم من فشل كل المحاولات التي لجأ إليها علماء الرياضيات بعد إقليدس لحل المسلمة الخامسة، فإن أعمالهم تلك لم تذهب سدى، بل مهدت الطريق نحو الهندسات اللأأقليدية "المعاصرة"، حيث عملت على ظهور الهندسة الجيوديسية أو هندسة السطوح المنحنية أو الكرويات.
البديهات الخمسة هي: common notions
- الأشياء المساوية لشيء واحد متساوية فيما بينها.
- إذا أضيفت كميات متساوية إلى أخرى متساوية تكون النتائج متساوية
- إذا طرحت مقادير متساوية من أخرى متساوية تكون البواقي متساوية.
- الأشياء المتطابقة متساوية.
- الكل أكبر من جزئه.
المسلمات الخمسة هي: Basic postulates
- أقصر مسافة بين نقطتين هو القطعة المستقيمة الوحيدة التي تصل بينهما.
- يمكن مد الخط المستقيم من طرفيه إلى غير حد.
- يمكن رسم الدائرة إذا علم مركزها ونصف قطرها.
- جميع الزوايا القوائم متساوية.
- في كتابه، صرح إقليدس عن المسلمة الخامسة، مسلمة التوازي الشهيرة، على النحو التالي:
ظلت هذه الهندسة أي " هندسة إقليدس" تمثل أسس علم الهندسة على مدى القرون المنصرمة العديدة والتي تقارب ألفين سنة السنين، كما اعتبرت المسلمة الخامسة " مسلمة التوازي" أعظم ما أنتجه إقليدس، ولكن هل هذه المسلمة صحيحة أم أنها قد تكون مشتقة من المسلمات الأربع السابقة؟
ويعلق جورج سارتون في كتابه "تاريخ العلم" على هذه مسلمة التوازي الإقليدية قائلا: "قد يقول الشخص المتوسط الذكاء أن النظرية ظاهرة ولا تحتاج إلى برهان، ولكن الرياضي الأفضل يدرك فورا الحاجة إلى برهان ويحاول أن يعطيه... ويحتاج الأمر إلى عبقري خارق للعادة، لإيجاد هذا البرهان و لكن هذا الأمر مستحيل....."
بالفعل فقد بذل كبار علماء الرياضيات في الحضارات المنصرمة الشرقية والغربية جهدهم على امتداد العشرين قرن الماضية، من أجل البرهنة على صحة هذه المسلمة لكن كل تلك المحاولات باءت بالفشل.
لكن حين فكر بعض العباقرة مثل " في التخلص من تلك المسلمة، نجحوا في وضع بدائل لها ومن تلك البدائل التي ذهبوا إليها:
- إذا قطع مستقيم أحد مستقيمين متوازيين فإنه يقطع الأخر.
- من أي نقطة معلومة لا يمكن رسم إلا مستقيم واحد يوازي مستقيما معلوما.
- مجموع زوايا المثلث الثلاث الداخلة يساوي قائمتين ( 180° درجة).
هكذا وعلى الرغم من فشل كل المحاولات التي لجأ إليها علماء الرياضيات بعد إقليدس لحل المسلمة الخامسة، فإن أعمالهم تلك لم تذهب سدى، بل مهدت الطريق نحو الهندسات اللأأقليدية "المعاصرة"، حيث عملت على ظهور الهندسة الجيوديسية أو هندسة السطوح المنحنية أو الكرويات.
يتبع في الجزء الثاني من المقال الهندسات اللاإقليدية.