ذكرنا في المقال السابق أن محاولات العلماء التي باءت بالفشل جميعا، دفعت بهم إلى التفكير في تجاوز المسلمة الخامسة، وهذه الفكرة ولدت ما يعرف بالهندسات اللاإقليدية والتي هي هندسة تحتوي على مسلمات تنفي مسلمة التوازي الإقليدية التي رأينها في المقال السابق "المسلمة الخامسة".
2- الهندسات اللا إقليدية
يطلق هذا الاسم على نوعين من الهندسة وتعرف أيضا بالهندسة في الفضاء ثلاثي الأبعاد، أما النوعان فهما "الهندسة الكروية" و "الهندسة القطعية". كما تدعى أيضا بالهندسة الاهليلجية أو هندسة ريمان "هندسة السطوح المقعرة "، و الهندسة الزائدية هندسة لوباتشيفسكي"هندسة السطوح المحدبة ".
هندسة السطوح المقعرة
يطلق العلماء على الهندسة التي إكتشفها جاوس Gauss / فريدريش جاوس (1777 – 1855)، أثناء محاولاته لحل المسلمة الخامسة لإقليدس- إسم هندسة السطح زائدي المقطع. ومجموع زوايا المثلث الذي يرسم على مثل هذا السطح أقل من قائمتين . كما أنه من أي نقطة يمكن رسم أكثر من مستقيم بحيث توازي كلها مستقيم أخر.
وصل جاوس إلى القول بأن الفضاء الذي نعرفه ذو هندسة لا اقليدية وحاول التأكد من صحة هذا التصور عمليا بتجربة قام اجرائها في احدى المناطق الجبلية، حاول فيها قياس زوايا المثلث الواقع بين ثلاث قمم جبلية غير أنه لم يصل إلى نتيجة قاطعة من خلال قياساته في تلك التجربة التي قام بها.
هندسة السطوح المقعرة
يطلق العلماء على الهندسة التي إكتشفها جاوس Gauss / فريدريش جاوس (1777 – 1855)، أثناء محاولاته لحل المسلمة الخامسة لإقليدس- إسم هندسة السطح زائدي المقطع. ومجموع زوايا المثلث الذي يرسم على مثل هذا السطح أقل من قائمتين . كما أنه من أي نقطة يمكن رسم أكثر من مستقيم بحيث توازي كلها مستقيم أخر.
وصل جاوس إلى القول بأن الفضاء الذي نعرفه ذو هندسة لا اقليدية وحاول التأكد من صحة هذا التصور عمليا بتجربة قام اجرائها في احدى المناطق الجبلية، حاول فيها قياس زوايا المثلث الواقع بين ثلاث قمم جبلية غير أنه لم يصل إلى نتيجة قاطعة من خلال قياساته في تلك التجربة التي قام بها.
هندسة السطح الكروي أو هندسة ريمان
كما تدعى أيضا بالهندسة الاهليلجية أو هندسة ريمان، وهي هندسة غير إقليدية تستخدم عوضاً عن مسلمة التوازي المسلمة التالية أو ما يكافئها:
إذا كان A خطاً ، و B نقطة خارجه، فإنه لا يوجد أي خط يمر بـ B ويوازي A.
الهندسة الكروية هي هندسة ترتبط بدراسة السطوح المنحنية. فكر في ما قد يحدث في حال بدلاً من العمل على قطعة الورق الإقليدية المسطحة عملت على سطح منحني، كالكرة مثلاً. فهذه الهندسة لها اتصال مباشر بوجودنا اليومي نظراً لكوننا نعيش على سطح منحني يدعى بكوكب الأرض، كما تشير إلى ذلك النظريات الحديثة في علم الفلك.
أولياتها
في فضاء منحني، مجموع زوايا أي مثلث هي دوما أكبر من 180 درجة، وقد قدرت ب 270 درجة.
على سطح كرة، لا يوجد خطوط مستقيمة، فجميع المستقيمات تنحني مع الفضاء (سطح الكرة).
في الفضاء المنحني، أقصر مسافة بين أي نقطتين ليست وحيدة.
على سبيل المثال، هناك العديد من الخطوط بين القطبين الشمالي والجنوبي (خطوط الطول) التي ليست متوازية نظراً لأنها تتقاطع عند القطبين ولكنها جميعاً تمثل أقصر طريق بين القطبين.
هندسة السطح المقعر أو هندسة لوباتشيفسكي
أولياتها
في فضاء مقعر، مجموع زوايا أي مثلث هي دوما أصغر من 180 درجة، وقد قدرت ب 135 درجة.
على سطح مقعر، يوجد الكثير من الخطوط المستقيمة المتوازية التي تشمل تشمل النقطة.
فكرة "التمرد" على الهندسة الإقليدية أدت الى اكتشاف أنواع أخرى من الابداعات الهندسية المعاصرة ، وإن كانت لا تعتبر بمثابة تجاوز لها، كونها مجرد إمتداد للهندسة الإقليدية، مع ذلك فهذه ليست المرة الوحيدة التي تمرد فيها الرياضيون على المفاهيم التقليدية الشائعة استنتاج أمور أخرى قد لا تبدو منطقية.
إذا كان A خطاً ، و B نقطة خارجه، فإنه لا يوجد أي خط يمر بـ B ويوازي A.
الهندسة الكروية هي هندسة ترتبط بدراسة السطوح المنحنية. فكر في ما قد يحدث في حال بدلاً من العمل على قطعة الورق الإقليدية المسطحة عملت على سطح منحني، كالكرة مثلاً. فهذه الهندسة لها اتصال مباشر بوجودنا اليومي نظراً لكوننا نعيش على سطح منحني يدعى بكوكب الأرض، كما تشير إلى ذلك النظريات الحديثة في علم الفلك.
أولياتها
في فضاء منحني، مجموع زوايا أي مثلث هي دوما أكبر من 180 درجة، وقد قدرت ب 270 درجة.
على سطح كرة، لا يوجد خطوط مستقيمة، فجميع المستقيمات تنحني مع الفضاء (سطح الكرة).
في الفضاء المنحني، أقصر مسافة بين أي نقطتين ليست وحيدة.
على سبيل المثال، هناك العديد من الخطوط بين القطبين الشمالي والجنوبي (خطوط الطول) التي ليست متوازية نظراً لأنها تتقاطع عند القطبين ولكنها جميعاً تمثل أقصر طريق بين القطبين.
هندسة السطح المقعر أو هندسة لوباتشيفسكي
وتسمى الهندسة الزائدية أو هندسة لوباتشيفسكي إذ إنها اكتشفت في بداية القرن التاسع عشر الميلادي بواسطة عالم الرياضيات الروسي نيكولاي لوباتشيفسكي.
أولياتها
في فضاء مقعر، مجموع زوايا أي مثلث هي دوما أصغر من 180 درجة، وقد قدرت ب 135 درجة.
على سطح مقعر، يوجد الكثير من الخطوط المستقيمة المتوازية التي تشمل تشمل النقطة.
فكرة "التمرد" على الهندسة الإقليدية أدت الى اكتشاف أنواع أخرى من الابداعات الهندسية المعاصرة ، وإن كانت لا تعتبر بمثابة تجاوز لها، كونها مجرد إمتداد للهندسة الإقليدية، مع ذلك فهذه ليست المرة الوحيدة التي تمرد فيها الرياضيون على المفاهيم التقليدية الشائعة استنتاج أمور أخرى قد لا تبدو منطقية.